Ganzrationale Gleichungen
Lösungsformeln; Satz vom Nullprodukt
a)
x · (3x2 + 4x + 10) = 3 · (x3+ 2) Ausmultiplizieren
3x3 + 4x2 + 10x = 3x3 + 6 Zusammenfassen
4x2 + 10x – 6 = 0
Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen in der allgemeinen Form liefert
und damit die Lösungen x1 = -3 und x2 = ½.
b)
2x3 – 2x2 – 4x = 0 Ausklammern
2x·(x2 – x – 2) = 0 Satz vom Nullprodukt
2x = 0 oder x2 – x – 2 = 0
Daraus ergeben sich die Lösungen
x1 = 0; x2 = –1; x3 = 2.
Wissensteil:
Allgemeine Bemerkungen zum Lösen von ganzrationalen Gleichungen
Allgemeine Form
Bringt man die Gleichung auf die allgemeine Form a·x2 + b·x + c = 0, hat diese die Lösungen:
Der Term b2 – 4ac heißt Diskriminante D.
Mit Hilfe der Diskriminante lässt sich entscheiden, wie viele Lösungen eine quadratische Gleichung besitzt. Ist D > 0, gibt es zwei Lösungen, ist D = 0, eine Lösung und ist D < 0, gibt es keine Lösung.
Normalform
Bringt man die Gleichung auf die Normalform x2 + px + q = 0, hat diese die Lösungen:
Weiteres
Enthält eine ganzrationale Gleichung kein Absolutglied, so wird die Gleichung durch Ausklammern umgeformt und anschließend der „Satz vom Nullprodukt“ angewandt: ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens einer seiner Faktoren null ist.
Tipps
- In der Normalform sind p und q in der Regel Brüche.
Wenn Sie Brüche vermeiden wollen, verwenden Sie die allgemeine Form!
- Formen Sie die Gleichung so um, dass a eine natürliche Zahl ist.
- Achten Sie auf die Vorzeichen!
In 3x2 – 7x – 4 = 0 ist a = 3; b = –7; c = –4.
