Algebra Learncard 20179618

Ganzrationale Gleichungen

Substitution; Polynomdivision

a)

2x4 – 20x2 + 18 = 0 Substitution: x2 = u

2u2 – 20u + 18 = 0 Lösungsformel

u1 = 1 oder u2 = 9 Rücksubstitution

x2= 1 oder x2 = 9

Aus den beiden Gleichungen erhält man die Lösungen x1 = 1; x2 = –1; x3 = 3; x4 = –3.

b)

Da x = 1 eine Lösung von 2x3 + 3x2 – 3x – 2 = 0 ist, kann man die Gleichung durch den Faktor (x – 1) dividieren. Durch Polynomdivision erhält man
(2x3 + 3x2 – 3x – 2) : (x – 1) = 2x2 + 5x + 2.

Damit gilt (x – 1)·(2x2+ 5x + 2) = 0.

Die Gleichung 2x2 + 5x + 2 = 0 hat die Lösungen –0,5 und –2 (zu bestimmen mit der Lösungsformel).

Damit erhält man insgesamt die Lösungen x1 = 1; x2 = –0,5 und x3 = –2.

Wissensteil:

Substitution

Durch eine geeignete Substitution wird eine biquadratische Gleichung in eine quadratische Gleichung übergeführt. Dabei sind die folgenden Schritte durchzuführen:

1. Substitution: Ersetzen Sie das Quadrat der Variablen x durch eine neue Variable, z. B. x2 = u.
2. Lösen Sie die entstehende quadratische Gleichung für u.
3. Rücksubstitution: Setzen Sie die Lösungen dieser Gleichung in x2 = u für u ein.
4. Geben Sie alle Lösungen an.

Bemerkung:

Nicht immer ergeben sich 4 Lösungen.

Beispiel:

Bestimmen Sie die Lösungen von x4 – 3x2 – 4 = 0.

Lösung:

Mit der Substitution x2 = u ergibt sich aus x4 – 3x2 – 4 = 0 die Gleichung u2 – 3u – 4 = 0 mit den Lösungen
u1 = 4; u2 = –1.

Aus x2 = 4 folgt x½ = ± 2 , während die Gleichung x2 = –1 unlösbar ist.

Damit hat die gegebene Gleichung nur die Lösungen +2 und –2.

Polynomdivision

Ist bei einer Gleichung vom Grad n (sie hat die Form anxn + an-1xn-1+ … + a1x + a0 = 0)
f (x) = 0 eine Nullstelle x1 bekannt, dann lässt sich f (x) durch Polynomdivision auf die Form
f (x) = (x – x1)·g (x) bringen, wobei g (x) ein Polynom ist, das den Grad n – 1 hat.

Beispiel:

Bestimmen Sie die Lösungen von x3 – 5x2 + 5x – 1 = 0.

Lösung:

Durch Probieren findet man x1 = 1. Polynomdivision von x3 – 5x2 + 5x – 1 durch (x – 1):

(x3– 5x2 + 5x – 1) : (x – 1) = x2 – 4x + 1

–(x3 – x2)
______________

–4x2 + 5x – 1

–(–4x2+4x)

__________________
x – 1

–(x –1)

_________
0

Also ist x3 – 5x2 + 5x – 1 = (x – 1)·(x2 – 4x + 1) .

Die weiteren Lösungen der Gleichung erhält man aus der Gleichung x2 – 4x + 1 = 0.

Mit der Lösungsformel ergibt sich x2 = 2 +√3; x3 = 2 – √3

Damit hat die gegebene Gleichung die Lösungen x1 = 1; x2 = 2 +√3; x3 = 2 – √3.