Bruchgleichungen
a)
Multiplikation mit dem Hauptnenner x·(x + 1)
4x + x·(x + 1) = 6·(x + 1) Vereinfachen
x2 – x – 6 = 0 Anwenden der Lösungsformel
x1 = 3; x2 = –2
Da 3 und –2 in D liegen, sind dies die Lösungen der gegebenen Gleichung.
b)
Die Definitionsmenge von f ist
.
Die Bedingung f (x) = 0 führt auf die Gleichung
Multiplikation mit dem Hauptnenner x·(x - 2)
–x·(x – 2) + x – 2 – 6x = 0 Vereinfachen
x2 + 3x + 2 = 0 Anwenden der Lösungsformel
x1 = - 2; x2 = -1
Da –2 und –1 in D liegen, sind x1 = –2; x2 = –1 die Nullstellen der Funktion f.
Wissensteil:
Standardverfahren beim Lösen einer Bruchgleichung
- Angabe der Definitionsmenge D der Bruchgleichung.
Diese besteht aus der Menge der reellen Zahlen ohne die Werte, bei denen die Nenner null werden:
- Angabe des gemeinsamen Nenners (Hauptnenner)
- Durchmultiplizieren der Bruchgleichung mit dem Hauptnenner
- Lösen der sich ergebenden Gleichung
- Überprüfen, ob die Lösungen dieser Gleichung auch in der Definitionsmenge D der Bruchgleichung liegen.
Tipps
- Die Werte, bei denen die Nenner null werden, sind meistens direkt angebbar; wenn nicht, setzen Sie in einer Nebenrechnung jeden Nenner gleich null.
- Achten Sie darauf, dass Sie beim Durchmultiplizieren beide Seiten der Gleichung multiplizieren.
- Vergessen sie auf keinen Fall den letzten Schritt, bei dem Sie überprüfen müssen, ob die errechneten Lösungen auch tatsächlich Lösungen der gegebenen Gleichung sind.
So hat die Gleichung
die Definitionsmenge
Die Rechung ergibt x = 2.
