Exponentialgleichungen
a)
(Vergleich der Exponenten)
32x-3 = 27
32x-3 = 33 Vergleich der Exponenten
2x – 3 = 3 ; 2x = 6 ; x = 3
b)
(Gleichung logarithmieren)
4·2x – 36 = 0 Vereinfachen
2x = 9 Logarithmieren
x·log (2) = log (9)
c)
(Substitution)
4·22x = 9·2x+1 – 18 Auf eine Seite bringen und umformen
4·(2x)2 – 9·2x1·21 + 18 = 0 Substitution: 2x = u
4u2 – 18u + 18 = 0 Anwendung der Lösungsformel
Rücksubstitution
Wissensteil:
In einer Exponentialgleichung steht die Variable, nach der aufgelöst werden soll, im Exponenten (z. B. 2x = 8).
Man löst Exponentialgleichungen in der Regel durch Logarithmieren (vgl. Aufgabe b)).
In Sonderfällen ist ein Vergleich der Exponenten (vgl. Aufgabe a)) oder eine Substitution möglich (vgl. Aufgabe c)).
Exponentialgleichungen mit drei oder mehr Summanden sind nur in Sonderfällen lösbar.
Dabei muss man in der Regel das Verfahren der Substitution anwenden.
Damit man substituieren kann, müssen in der Exponentialgleichung alle Basen (die die Variable im Exponenten haben) gleich sein, oder mit Hilfe der Potenzregeln gleichgemacht werden. Falls diese entstehende algebraische Gleichung lösbar ist, kann man durch Rücksubstitution die Lösungen der Exponentialgleichung erhalten.
Exponentialgleichungen kann man wie jede andere Gleichung näherungsweise mit dem GTR lösen. Hierzu berechnet man z. B. die Nullstellen der zugehörigen Funktion.
Tipps
- Die Logarithmen- und Potenzgesetze sollten Sie kennen. Beachten Sie dabei insbesondere, dass es kein Logarithmengesetz für log (a ± b) gibt.
- Vergessen Sie beim Logarithmieren nicht, beide Seiten einer Gleichung zu logarithmieren (vgl. Lösung b)).
- Auch die Gleichung 5·5x+ 5-x = 6 kann durch eine Substitution gelöst werden.
Denn es ist
und damit führt 5x = u auf die Gleichung 5u2 – 6u + 1 = 0.
