Exponentialgleichungen
Gleichungen mit der Basis e
a)
2·e3x-5 = 8 Vereinfachen
e3x-5 = 4 „Logarithmieren“ mit dem nat. Log.
3x – 5 = ln (4) Auflösen der linearen Gleichung nach x
3x = ln (4) + 5
b)
5 – 4e-0,5x = e0,5x Substitution: e0,5x = u
Multiplizieren mit u und umformen
Lösungsformel anwenden
Rücksubstitution
e0,5x = 4 liefert x1 = 2·ln (4) ≈ 2,7726; e0,5x = 1 liefert x2 = 2·ln (1) = 0.
Mit g (2·ln (4)) = e-0,5∙2∙In(4) = 4 und g (0) = 1 ergeben sich die Schnittpunkte S1 (2·ln (4) | 4) und S2 (0 | 1).
Wissensteil:
Zusätzlich zu den Lösungsverfahren bei Exponentialgleichungen sollte beachtet werden:
- ln (ex) = x; eIn(x) = x; e0 = 1; e1 = e; ln (1) = 0; ln (e) =1.
Dies ist für die Anwendung des Satzes vom Nullprodukt wichtig.
- Beim Substituieren nützt oft: e(m∙n) = (em)n .
Hinweise zum Lösen einer Gleichung mit dem GTR
Wurde eine Gleichung handschriftlich gelöst, so kann man das Ergebnis natürlich mit dem GTR überprüfen. Bei Anwendungen kommen aber oft Gleichungen vor, die nicht exakt gelöst werden können. Dies ist z. B. der Fall bei der Gleichung
0,5·ex+1 = 3 – x2.
Mit dem GTR bieten sich drei Lösungsmöglichkeiten an:
1) Man erstellt die Graphen der Funktionen f und g mit f (x) = 0,5·ex+1 bzw. g (x) = 3 – x2
und ermittelt mit dem Befehl intersect aus dem CALC–Menü die Schnittpunkte.
2) Man bringt alles auf eine Seite, erstellt den Graphen der Funktion h mit
h (x) = 0,5ex+1 + x2 – 3 und bestimmt von der Funktion h die Nullstellen mit dem Befehl
zero aus dem CALC–Menü.
3) Man verwendet den Befehl Solver aus dem MATH–Menü.
Die Lösungen der Gleichung sind x1 ≈ –1,6554; x2 ≈ 0,6433.
