Lineare Funktionen
Orthogonalität; Länge und Mitte einer Strecke
a) Die Gerade g durch die Punkte P und Q hat die Steigung (vgl. Karte 9)
Eine Gerade orthogonal zu g hat die Steigung
Für die Gerade h orthogonal zu g durch P gilt:
Punktprobe für P (–4,5 | 9) ergibt 9 = 8/45 ·(–4,5) + c. Hieraus folgt c = 9,8.
Damit ist y = 8/45 x + 9,8 eine Gleichung für h.
b) Für die Länge der Strecke PQ ergibt sich:
c) Für die Mitte M der Strecke PQ ergibt sich:
xM = 1/2 (–4,5 + (–0,5)) = –2,5; yM = 1/2 (9 + (–13,5)) = –2,25.
Damit gilt: M (–2,5 | –2,25).
Wissensteil:
Orthogonalität zweier Geraden
Gegeben sind zwei Geraden g und h mit den Steigungen m1 bzw. m2.
- Sind g und h orthogonal, dann gilt m1·m2 = –1.
- Gilt m1·m2 = –1, dann sind g und h orthogonal.
Länge einer Strecke
Sind P (xP | yP) und Q (xQ | yQ) die Endpunkte einer Strecke, so gilt für die Länge der Strecke nach dem Satz des Pythagoras (Fig. 1):
Mitte einer Strecke
Für die Mitte M (xM | yM) gilt (Fig. 2):
Tipps
- Die angegebenen Formeln sollten Sie auswendig wissen.
- Bei der Berechnung von m2 aus m1 ergibt sich oft ein Doppelbruch. Beachten Sie also die Regeln der Bruchrechnung.
- Die Mitte einer Strecke wird oft in der Analytischen Geometrie benötigt (vgl. Karte 64; 69).
Sind P (x1 | x2 | x3) und Q (y1 | y2 | y3) Punkte im Raum, so gilt für die Mitte M (m1 | m2 | m3) der Strecke PQ:
m1 = 1/2 (x1 + y1); m2 = 1/2 (x2 + y2); m3 = 1/2 (x3 + y3).