SUPPORT-HOTLINE: +49-611-447-544-22

Funktionen Learncard 20179627


Question

Lineare Funktionen

Orthogonalität; Länge und Mitte einer Strecke


Gegeben sind die Punkte P (–4,5 | 9) und Q (–0,5 | –13,5).


a) Ermitteln Sie eine Gleichung der Geraden durch P, die orthogonal zur
Geraden durch P und Q ist.

b) Bestimmen Sie die Länge der Strecke PQ.

c) Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunktes M der Strecke PQ.

Answer

Lineare Funktionen

Orthogonalität; Länge und Mitte einer Strecke


a) Die Gerade g durch die Punkte P und Q hat die Steigung (vgl. Karte 9)



Eine Gerade orthogonal zu g hat die Steigung



Für die Gerade h orthogonal zu g durch P gilt:



Punktprobe für P (–4,5 | 9) ergibt 9 = 8/45 ·(–4,5) + c. Hieraus folgt c = 9,8.

Damit ist y = 8/45 x + 9,8 eine Gleichung für h.


b) Für die Länge der Strecke PQ ergibt sich:




c) Für die Mitte M der Strecke PQ ergibt sich:

xM = 1/2 (–4,5 + (–0,5)) = –2,5; yM = 1/2 (9 + (–13,5)) = –2,25.

Damit gilt: M (–2,5 | –2,25).



Wissensteil:


Orthogonalität zweier Geraden


Gegeben sind zwei Geraden g und h mit den Steigungen m1 bzw. m2.


  1. Sind g und h orthogonal, dann gilt m1·m2 = –1.
  2. Gilt m1·m2 = –1, dann sind g und h orthogonal.

Länge einer Strecke


Sind P (xP | yP) und Q (xQ | yQ) die Endpunkte einer Strecke, so gilt für die Länge der Strecke nach dem Satz des Pythagoras (Fig. 1):



Mitte einer Strecke


Für die Mitte M (xM | yM) gilt (Fig. 2):







Tipps


  • Die angegebenen Formeln sollten Sie auswendig wissen.
  • Bei der Berechnung von m2 aus m1 ergibt sich oft ein Doppelbruch. Beachten Sie also die Regeln der Bruchrechnung.
  • Die Mitte einer Strecke wird oft in der Analytischen Geometrie benötigt (vgl. Karte 64; 69).
    Sind P (x1 | x2 | x3) und Q (y1 | y2 | y3) Punkte im Raum, so gilt für die Mitte M (m1 | m2 | m3) der Strecke PQ:
    m1 = 1/2 (x1 + y1); m2 = 1/2 (x2 + y2); m3 = 1/2 (x3 + y3).
This learn card is part of a learn card package and can be ordered in our shop together with the reward-winning Brainyoo app for iOS, Android and Blackberry.