Potenzfunktionen
Asymptoten; Symmetrie
a)
b)
Eigenschaften
positives n: keine Definitionslücke
negatives n: Pol mit (n ungerade), Pol ohne (n gerade) Vorzeichenwechsel
gerades n: Symmetrie bezüglich der y-Achse
ungerades n: Symmetrie bezüglich des Ursprungs
Wissensteil:
Potenzfunktionen sind die Grundbausteine der ganzrationalen und gebrochenrationalen Funktionen.
Eigenschaften der Graphen
1.
Definitionsbereich; Asymptoten
n positiv:
- Der Definitionsbereich sind die reellen Zahlen, also ist
.
- Für x → ± ∞ existiert kein Grenzwert von f; daher existieren keine waagrechten Asymptoten.
n negativ:
- Für x → ± ∞ geht f (x) → 0. Daher ist die x-Achse waagrechte Asymptote.
2.
Symmetrie
n gerade:
Es gilt stets f (–x) = (–x)n = xn = f (x), so dass die Graphen von f in diesem Fall symmetrisch zur y-Achse sind.
n ungerade:
Es gilt stets f (–x) = (–x)n = –xn = –f (x), so dass die Graphen von f in diesem Fall symmetrisch zum Ursprung sind.
Tipps
- Skizzieren Sie sich weitere Graphen von Potenzfunktionen.
Überprüfen Sie die Ergebnisse mit dem GTR.
- Für negative n zerfällt der Graph in zwei Äste.
Verbinden Sie also niemals diese Äste über die Polstelle hinüber.
- Beachten Sie für die verschiedenen Exponenten auch das unterschiedliche Monotonieverhalten der Graphen.
