Ganzrationale Funktionen
Nullstellen; Polynomdivision; Graph
a) Nullstellen:
x1 = 0; 
x2 – 6x + 9 = 0
Verlauf des Graphen:
Die Nullstellen sind 0 und 3 (doppelte Nullstelle); die höchste Potenz ist 3. Der Graph kommt im 4. Quadranten von –∞, geht durch den Ursprung, hat einen Hochpunkt im 1. Quadranten, berührt die x-Achse im 1. Quadranten an der Stelle 3 von oben, geht gegen +∞ für x gegen +∞.
b) Nullstellen:
x3 + 2x2 – x – 2 = 0
Durch Raten erhält man x1 = 1.
Polynomdivision:
(x3 + 2x2 – x – 2) : (x – 1) = x2 + 3x + 2
- (x3 -x2 )
_______
3x2 - x
- (3x2- 3x )
________
2x - 2
- (2x - 2)
_______
0
Durch Probieren oder mit der Lösungsformel erhält man x2 = –1 und x3 = –2.
Verlauf des Graphen: Die höchste Potenz ist 3. Der Graph kommt im 4. Quadranten von –∞, schneidet die x-Achse in drei Stellen und geht gegen +∞ für x gegen +∞.
Wissensteil:
Eine Funktion f, deren Term in der Form
f (x) = an xn + an-1 xn-1 + … + a1 x + a0
geschrieben werden kann, heißt ganzrationale Funktion vom Grad n.
Der Verlauf einer ganzrationalen Funktion vom Grad n für x → + ∞ bzw. für x → – ∞ wird von der höchsten vorkommenden Potenz von x festgelegt.
Ist für eine Zahl 
die Bedingung f (x0) = 0 erfüllt, nennt man x0 Nullstelle der Funktion f.
Für eine ganzrationale Funktion f vom Grad n gilt:
1. Es existieren höchstens n Nullstellen.
2. Ist eine Nullstelle x0 bekannt, kann man die Polynomdivision durchführen.
3. Ist x0 Nullstelle, lässt sich f (x) in der Form f (x) = (x – x0)·g (x) schreiben. Dabei ist g (x) vom Grad n – 1.
4. Wenn f (x) = (x – x0)2·g (x) mit g (x0) ≠ 0 gilt, berührt der Graph von f die x-Achse an der Stelle x0 .
Tipps:
- Um die Nullstellen einer ganzrationalen Funktion zu berechnen, ist eine ganzrationale Gleichung zu lösen. Zu den möglichen Verfahren vgl. Karten 1 und 2.
- Beachten Sie: Bei der Polynomdivision wird durch x – x0 dividiert.
Ist z. B. x0 = –2, muss durch x + 2 dividiert werden.
- Die Anzahl der Nullstellen ist höchstens n.
Der Graph der Funktion f mit f (x) = x4 + 2x2 + 2 hat z. B. keine Nullstellen.
- Berührung zweier Graphen an der Stelle x0 bedeutet:
f (x0) = g (x0) und f’ (x0) = g’ (x0).
