Funktionen Learncard 20222266

Gebrochenrationale Funktionen

Verhalten in der Nähe von Definitionslücken

a) Definitionsmenge: Df = R \ {–2}.

Verhalten für x → –2: Für x → –2 und x < –2 gilt:

x + 2 → 0 und x + 2 < 0, folglich

Für x → –2 und x > –2 gilt: x + 2 → 0 und x + 2 > 0, folglich

(Pol mit Vorzeichenwechsel). Gleichung der senkrechten Asymptote: x = –2. Graph: Siehe

Fig. 1.

b) Die Funktion g ist an der Stelle x0 = –2 nicht definiert. Definitionsmenge:

Es ist g (x) = x – 2 für x ≠ –2 und

Der Graph von g hat eine hebbare Definitionslücke an der Stelle –2. Graph: Siehe Fig.2.

Wissensteil:

Eine gebrochenrationale Funktion f ist der Quotient aus zwei ganzrationalen Funktionen z und n. Es gilt also

Definitionsbereich gebrochenrationaler Funktionen

Da die Teilbarkeit durch 0 auszuschließen ist, ist der Definitionsbereich gebrochenrationaler Funktionen durch die Nullstellen des Nennerpolynoms eingeschränkt. Hat das Nennerpolynom keine Nullstellen, so ist

Hat das Nennerpolynom Nullstellen, so gilt folgende Fallunterscheidung:

1. Das Zählerpolynom hat bei der Definitionslücke x0 keine Nullstelle, d. h. z (x) strebt für
   x → x0 gegen eine von null verschiedene reelle Zahl. Dann weist der Graph von f einen Pol auf, d. h. x = x0 ist die Gleichung der senkrechten Asymptote des Graphen von f (vgl. Aufgabe a)).
   
2. Das Zählerpolynom hat bei der Definitionslücke x0 eine Nullstelle, d. h. z (x) strebt für
   x → x0 gegen 0. Dann kann durch Ausklammern (Faktorisieren: ggf. mit Hilfe einer Polynomdivision) und anschließendem Kürzen mit (x – x0) der Verlauf des Graphen in der Nähe der Definitionslücke bestimmt werden. Hat das Nennerpolynom des gekürzten Funktionsterms von f an der Stelle x0 keine Nullstelle mehr, so spricht man von einer hebbaren Definitionslücke. Die Funktion f lässt sich damit an der Stelle x0 stetig fortsetzen (vgl. Aufgabe b)).

Tipps

• Bei einer gegebenen gebrochenrationalen Funktion sollten Sie zunächst den Zähler und den Nenner faktorisieren. Hilfsmittel hierzu sind: Ausklammern; Binomische Formeln; Polynomdivision
  
• An der gekürzten Form erkennt man den Verlauf des Graphen einfacher. Beachten Sie aber die weiterhin geltende Definitionsmenge.
  
• Handelt es sich um eine hebbare Definitionslücke, markieren Sie im Graphen den Punkt deutlich.