Gebrochenrationale Funktionen
Senkrechte, waagrechte und schiefe Asymptoten
a) Es ist
. Der Zähler wird an der Stelle – 1/2 nicht null.
Senkrechte Asymptote: x = – 1/2.
Also ist die Gerade mit der Gleichung y = 2 waagrechte Asymptote für x → ±∞.
b) Es ist
Der Zähler wird an den Stellen +√2 und – √2 nicht null.
Senkrechte Asymptoten: x = +√2 ; x = – √2.
Also ist die x-Achse mit der Gleichung y = 0 waagrechte Asymptote für x → ±∞ .
c) Es ist
. Der Zähler wird null, aber der Nenner wird nie null.
Es gibt keine senkrechte Asymptote.
Polynomdivision ergibt:
Also ist die erste Winkelhalbierende mit der Gleichung y = x schiefe Asymptote für x → ±∞ .
Wissensteil:
Eine gebrochenrationale Funktion f ist der Quotient aus zwei ganzrationalen Funktionen z und n.
Asymptoten gebrochenrationaler Funktionen
Asymptoten sind Geraden, an die sich der Graph einer Funktion beliebig nahe annähert. Bei der Grenzwertbetrachtung für x → ±∞ können bei Graphen gebrochenrationaler Funktionen Asymptoten nur dann auftreten, wenn der Grad des Zählerpolynoms (Zählergrad) um höchstens eins größer ist als der Grad des Nennerpolynoms (Nennergrad).
Bezeichnet n das Maximum von Nennergrad und Zählergrad, so kann man das Verhalten des Graphs für
x → ±∞ untersuchen, indem man den Term der gebrochenrationalen Funktion mit dem Kehrbruch von xn erweitert.
- Nennergrad > Zählergrad:
y = 0 ist waagrechte Asymptote an den Graphen von f für x → ±∞.
- Nennergrad = Zählergrad:
y = a/b ist waagrechte Asymptote an den Graphen von f für x → ±∞, wobei a der Leitkoeffizient des Zählers und b der Leitkoeffizient des Nenners ist.
- Nennergrad = Zählergrad –1:
Mit Hilfe der Polynomdivision (= gemischte Schreibweise) kann man die Gleichung der schiefen Asymptote ermitteln.
Tipps
Bei einer gebrochenrationalen Funktion sind unterschiedliche Schreibweisen des Terms hilfreich.
- Für die Untersuchung auf senkrechte Asymptoten hilft die Zerlegung von Zähler und Nenner in Produkte. Besonders ist darauf zu achten, ob Zähler und Nenner an der gleichen Stelle null werden.
- Für die Untersuchung auf waagrechte Asymptoten hilft die Form, die man nach einer Erweiterung erhält.
- An der Form nach einer Polynomdivision ersieht man direkt eine schiefe Asymptote.