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Funktionen Learncard 20222267


Question

Gebrochenrationale Funktionen

Senkrechte, waagrechte und schiefe Asymptoten


Untersuchen Sie den Graphen der Funktion auf senkrechte, waagrechte und schiefe Asymptoten.


a)

b)

c)

Answer

Gebrochenrationale Funktionen

Senkrechte, waagrechte und schiefe Asymptoten


a) Es ist

. Der Zähler wird an der Stelle – 1/2 nicht null.
Senkrechte Asymptote: x = – 1/2.

Also ist die Gerade mit der Gleichung y = 2 waagrechte Asymptote für x → ±∞.


b) Es ist

Der Zähler wird an den Stellen +√2 und – √2 nicht null.

Senkrechte Asymptoten: x = +√2 ; x = – √2.

Also ist die x-Achse mit der Gleichung y = 0 waagrechte Asymptote für x → ±∞ .


c) Es ist
. Der Zähler wird null, aber der Nenner wird nie null.

Es gibt keine senkrechte Asymptote.

Polynomdivision ergibt:

Also ist die erste Winkelhalbierende mit der Gleichung y = x schiefe Asymptote für x → ±∞ .



Wissensteil:


Eine gebrochenrationale Funktion f ist der Quotient aus zwei ganzrationalen Funktionen z und n.


Asymptoten gebrochenrationaler Funktionen


Asymptoten sind Geraden, an die sich der Graph einer Funktion beliebig nahe annähert. Bei der Grenzwertbetrachtung für x → ±∞ können bei Graphen gebrochenrationaler Funktionen Asymptoten nur dann auftreten, wenn der Grad des Zählerpolynoms (Zählergrad) um höchstens eins größer ist als der Grad des Nennerpolynoms (Nennergrad).


Bezeichnet n das Maximum von Nennergrad und Zählergrad, so kann man das Verhalten des Graphs für

x → ±∞ untersuchen, indem man den Term der gebrochenrationalen Funktion mit dem Kehrbruch von xn erweitert.


  1. Nennergrad > Zählergrad:
    y = 0 ist waagrechte Asymptote an den Graphen von f für x → ±∞.
  2. Nennergrad = Zählergrad:
    y = a/b ist waagrechte Asymptote an den Graphen von f für x → ±∞, wobei a der Leitkoeffizient des Zählers und b der Leitkoeffizient des Nenners ist.
  3. Nennergrad = Zählergrad –1:
    Mit Hilfe der Polynomdivision (= gemischte Schreibweise) kann man die Gleichung der schiefen Asymptote ermitteln.



Tipps


Bei einer gebrochenrationalen Funktion sind unterschiedliche Schreibweisen des Terms hilfreich.


  • Für die Untersuchung auf senkrechte Asymptoten hilft die Zerlegung von Zähler und Nenner in Produkte. Besonders ist darauf zu achten, ob Zähler und Nenner an der gleichen Stelle null werden.
  • Für die Untersuchung auf waagrechte Asymptoten hilft die Form, die man nach einer Erweiterung erhält.
  • An der Form nach einer Polynomdivision ersieht man direkt eine schiefe Asymptote.
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