Gebrochenrationale Funktionen
Näherungskurven
Mit Hilfe der Polynomdivision kann man den Funktionsterm von f als gemischten Bruch schreiben:
Polynomdivision:
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Da für x → ±∞ der Ausdruck
gegen 0 strebt (vgl. Karte 14), nähert sich der Graph von f für x → ±∞ an die verschobene Normalparabel g mit g (x) = x2 + 3x – 2.
Wissensteil:
Die Polynomdivision ist ein gängiges Verfahren bei der Bestimmung von Näherungskurven von gebrochenrationalen Funktionen oder beim Bestimmen von Nullstellen ganzrationaler Funktionen.
Näherungsfunktionen gebrochenrationaler Funktionen
Eine Näherungsfunktion einer gebrochenrationalen Funktionen f ist eine ganzrationale Funktion g, an die sich der Graph von f beliebig nahe annähert. Bei der Grenzwertbetrachtung für x → ±∞ spricht man von einer Näherungskurve einer gebrochenrationalen Funktion, falls der Grad des Zählerpolynoms (Zählergrad) um mindestens zwei größer ist als der Grad des Nennerpolynoms (Nennergrad). Im anderen Fall spricht man von Asymptoten (vgl. Karte 14).
Man ermittelt den Term der Näherungsfunktion (wie bei schiefen Asymptoten) durch Polynomdivision. Hierbei schreibt man den Bruch als Divisionsaufgabe und verfährt wie beim schriftlichen Dividieren von Zahlen.
Tipps
- Polynomdivision ist hilfreich bei
1) der Berechnung von Nullstellen ganzrationaler Funktionen (vgl. Karte 12),
2) der Bestimmung von Asymptoten bzw. Näherungskurven von
gebrochenrationalen Funktionen.
- Nach der Polynomdivision erkennt man am Vorzeichen des „Restterms“, ob sich der
Graph der Funktion f von oben oder von unten an die schiefe Asymptote bzw. an
die Näherungskurve annähert.
