Funktionen Learncard 20222269

Exponentialfunktionen

e-Funktionen; Spiegelung an Koordinatenachsen

a)

b) Eigenschaften von f1:

• f1 ist streng monoton steigend.
• Die Funktionswerte von f1 sind für alle x positiv.
• (einziger) gemeinsamer Punkt mit den Koordinatenachsen: P (0 | 1)
• Der Graph von f1 besitzt eine waagrechte Asymptote für x → –∞ mit der Gleichung y = 0.
• In jedem Punkt des Graphen entspricht die Tangentensteigung an den Graphen genau dem zugehörigen y-Wert.

c) Der Graph von f2 entsteht aus dem von f1 durch Spiegelung an der y-Achse.

Wissensteil:

Exponentialfunktionen sind die Grundbausteine, um z. B. Wachstumsprozesse mathematisch zu beschreiben. Die spezielle Basis e (≈ 2,7183) ist die Eulersche Zahl.

Sie ist eine irrationale (transzendente) Zahl, die als Grenzwert der Folge

Eigenschaften jeder Exponentialfunktion f mit f (x) = ax; a > 1

• Der Definitionsbereich sind die reellen Zahlen:
  
• Für x → ∞ gilt f (x) → ∞.
• 
  Daher ist die x-Achse waagrechte Asymptote.
• Es gilt a0 = 1 für jedes a ≠ 0. Der Punkt P (0 | 1) gehört also stets zum Graphen von f.
• Jede Exponentialfunktion ist streng monoton steigend.

Eigenschaften der Exponentialfunktion f1 mit f1 (x) = ex

• Wegen f1 (x) = f1’ (x) für alle
  
  stimmt die Tangentensteigung in jedem Punkt P (x0 | f (x0)) (oder die momentane Änderungsrate an jeder Stelle x0) mit dem Funktionswert überein (vgl. Karte 29).

Spiegelung von Graphen

• an der y-Achse
  Gilt für eine Funktion g, dass g (x) = f (–x) ist, entsteht der Graph von g aus dem von f durch Spiegelung an der y-Achse.
  
  Begründung: Die Funktion g nimmt an der Stelle x0 denselben Funktionswert an wie die Funktion f an der Stelle –x0.
  

• an der x-Achse
  Gilt für eine Funktion h, dass h (x) = –f (x) ist, entsteht der Graph von h aus dem von f durch Spiegelung an der x-Achse.
  
  Begründung:
  Liegt der zum Graphen von f gehörende Punkt P (x0 | f (x0)) z. B. oberhalb der x-Achse, dann hat der zum Graphen von h gehörende (gespiegelte) Punkt die Koordinaten P’ (x0 | –f (x0)) und liegt damit unterhalb der x-Achse. Da die Funktionswerte von f und h an jeder Stelle x0 denselben Abstand zur x-Achse haben (| h (x0) | = | f (x0) |), ergibt sich der gespiegelte Graph.