Nein, der Abschluss eines Arbeitsvertrages ist formfrei. Zu seiner Wirksamkeit bedarf ein Arbeitsvertrag grundsätzlich keiner Form.
§ 105 GewO
Ein Arbeitsverhältnis kann daher auch durch mündlichen Vertragsschluss oder durch schlüssiges Verhalten der Vertragsparteien zustande kommen.
Info: Aber der Gesetzgeber hat in § 2 des Nachweisgesetzes dem Arbeitgeber als „Sollvorschrift“ auferlegt, die mit seinem Arbeitnehmer (mündlich) vereinbarten wesentlichen Vertragsbedingungen spätestens einen Monat nach Beginn des Arbeitsverhältnisses schriftlich niederzulegen.