Wissensteil:
Integrieren ist das umgekehrte Vorgehen von Differenzieren (Ableiten) (vgl. Karte 50). Bei trigonometrischen Funktionen gehen beim Ableiten ggf. bis auf Vorzeichen Sinus- und Kosinusfunktion ineinander über, also gilt dies auch (bis auf Vorzeichen) beim Bilden einer Stammfunktion einer trigonometrischen Funktion. Beim viermaligen Ableiten oder „Aufleiten“ gelangt man wieder zur Ausgangsfunktion:
f (x) = sin (x) , F (x) = –cos (x);
g (x) = cos (x) , G (x) = sin (x) .
Lineare Substitution Da beim Ableiten die Kettenregel gilt (vgl. Karte 31) und lineare Funktionen konstante Ableitungen haben, kann man eine Funktion, die mit einer linearen Funktion verkettet ist, ohne größere Mühe integrieren. Ist
und sind F und G Stammfunktionen von f und g, so gilt
Tipps zur Vermeidung von Fehlern
- Eine der wichtigsten Regeln beim Ableiten ist die Kettenregel.
- Beachten Sie also die Auswirkungen der Kettenregel beim „Aufleiten“: Bei linearer Substitution ergibt sich ein Faktor, den man mit „1 durch innere Ableitung“ beschreiben kann.
- Überprüfen Sie Ihr Ergebnis durch Ableiten!
Weitere Beispiele zur linearen Substitution:
a)
mit m = 2 und c = -1:
b)
mit m = 2 und c = –1 und z = –1 (vgl. Karte 50)
